number and number system

                         Number and number system

September 04, 2022

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1.अंक - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 को अंक कहते हैं। हमारी संख्या पद्धति अथवा दाशमिक प्रणाली में इन्हीं 10 संकेतों का प्रयोग होता है। अंकगणित में सभी संख्याएँ इन्हीं अंकों से बनती हैं। 

 Numbers - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 are called numbers. These 10 signs are used in our number system or decimal system. In arithmetic, all numbers are made up of these numbers.

2.प्राकृत संख्या -गिनती की संख्या को प्राकृत संख्या कहते हैं। 

जैसे- 1, 2, 3, 4, 5, 6,

 सबसे छोटी प्राकृत संख्या 1 तथा सबसे बड़ी प्राकृत संख्या ज्ञात करना संभव नहीं है।

Natural Number The number of counting is called natural number.

 For example, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

the smallest natural number 1 but it is not possible to find the largest natural number

3. पूर्ण संख्या: प्राकृत संख्या में संख्यांक 0 को शामिल करने से प्राप्त संख्या-परिवार, पूर्ण संख्या कहलाती है, 

जैसे- 0, 1, 2, 3, 4, 5,6,

 सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 (zero ) है तथा सबसे बड़ी पूर्ण संख्या ज्ञात करना असंभव है।

Whole Number: The number family obtained by including the number 0 in a natural number is called a whole number.

 For example, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6  

smallest whole number is 0( zero ) and it is impossible to find the largest whole number.

4.सम संख्या: वैसी प्राकृत संख्या जो '2' से पूर्णतः विभाजित हो जाय, सम संख्या कहलाती हैं

जैसे- 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... है,

सम संख्याओं के इकाई अंक के स्थान पर 0, 2, 4, 6, 8 आते हैं।

Even Number: Such a natural number which is completely divisible by '2', is called an even number.

 For example, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18… 

 0, 2, 4, 6, 8 come in place of unit digit of even numbers.

5.विषम संख्या: वैसी प्राकृत संख्या जो '2' से पूर्णतः विभाजित न हो, विषम संख्या कहलाती है, 

जैसे - 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

विषम संख्या के इकाई अंक के स्थान पर 1, 3, 5, 7, 9 आते हैं।

Odd Number: Such a natural number which is not completely divisible by '2' is called odd number,

 Eg - 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

 The unit digit of an odd number is replaced by 1, 3, 5, 7, 9.

6.भाज्य संख्या या संयुक्त संख्या या यौगिक संख्या : वैसी प्राकृत संख्याएँ जो 1 और स्वयं के अलावे किसी भी दूसरी संख्या से विभाजित हो, भाज्य संख्या कहलाती है।

                               अथवा,

 वैसी प्राकृत संख्या जिसके अपवर्तकों की संख्या 2 से अधिक हो, भाज्य संख्या कहलाती है, 

जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 

Composite number or composite number or compound number: Such natural numbers which are divisible by any number other than 1 and itself are called composite numbers.

            Or,

 A natural number whose number of divisors is more than 2 is called a composite number.

 Eg- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14

7.अभाज्य या असंयुक्त या रूढ संख्या - 1 से बड़ी वैसी प्राकृत संख्या जो 1 और स्वयं के अतिरिक्त किसी भी दूसरी संख्या से पूर्णतया विभाजित न हो, अभाज्य संख्या कहलाती है।

                            अथवा, 

वैसी प्राकृत संख्या जिसके दो ही अपवर्तक (1 और स्वयं) हो अभाज्य संख्या कहलाती है, 

जैसे-2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

(1 से 100 तक की ये 25 अभाज्य संख्याएँ हैं।)

7.Prime or uncombined or prime number - Such a natural number greater than 1 which is not completely divisible by 1 and any number other than itself, is called a prime number.

              Or,

 A natural number which has only two divisors (1 and itself) is called a prime number.

 eg-2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

 (These are 25 prime numbers from 1 to 100.)

8.जुड़वाँ अभाज्य : जिन दो अभाज्य संख्याओं के बीच का अंतर 2 हो, तो वे दोनों संख्याएँ जुड़वा अभाज्य कहलाती हैं,

 जैसे-3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 4143, 59-61, 71-73 आदि।

Twin primes: If the difference between two prime numbers is 2, then both those numbers are called twin primes

, such as -3-5, 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 4143, 59 -61, 71-73 etc.

9.सह अभाज्य या असहभाज्य : जिन दो प्राकृत संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 हो, तो वे दोनों संख्याएँ सह-अभाज्य कहलाती हैं, 

जैसे 4-5, 5-7, 4-9, 12-13, 1-5 आदि।

ध्यान दें: (1) प्रत्येक जुड़वाँ अभाज्य सह-अभाज्य होगी, लेकिन प्रत्येक सह अभाज्य जुड़वाँ अभाज्य नहीं होगी।

(ii)दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।

co prime or non prime : Two natural numbers whose greatest common factor is 1, then both those numbers are called co-prime, like 4-5, 5-7, 4-9, 12-13, 1-5 etc.

 Note: 

(1) Every twin prime will be a co-prime, but not every co prime will be a twin prime.

 (ii) Two consecutive natural numbers are co-prime.

10.सम्पूर्ण संख्या : वैसी प्राकृत संख्या जिसके सभी अपवर्तकों का योग संख्या मान से दुगुना हो, सम्पूर्ण संख्या कहलाती है, 

जैसे—6, 28 [1 से 100 के बीच दो ही सम्पूर्ण संख्या ] 6 के अपवर्तकों का योग = 1+2+3+ 6 = 12

28 के अपवर्तकों का योग = 1+2+4+7+14 + 28=56

Whole Number: Such a natural number whose sum of all its divisors is twice the number value is called a whole number.

 E.g. 6, 28 [two whole numbers between 1 to 100] sum of the refractories of 6 = 1+2+3+ 6 = 12

 Sum of refractories of 28 = 1+2+4+7+14 + 28=56

11.रामानुजन संख्या : ‘1729´ को रामानुजन संख्या कहते हैं। वैसी लघुतम प्राकृत संख्या जिसे दो संख्याओं के घनों के योग के रूप में दो विभिन्न तरीकों से लिखा जा सके रामानुजन संख्या कहलाती हैं 1

                             10³ +9³

         1729  

                            12³+1³

Ramanujan number: '1729' is called Ramanujan number. The smallest natural number that can be written as the sum of the cubes of two numbers in two different ways is called Ramanujan number.

                       10³ +9³

 1729

                       12³+1³

12.परिमेय संख्या : वैसी संख्या जो P/q के रूप में हो या " के रूप में व्यक्त की जा सके, जहाँ q 0 (zero) के बराबर ना हो तथा p और q दोनों पूर्णांक संख्या हों,

 जैसे- 6/7 , 4/8 , 11/ 7 , 5,0, √4 आदि ।

Rational Number: A number that can be expressed in the form P/q or in the form ", where q is not equall to = 0 (zero) and p and q are both integer numbers,

 Like - 6/7 , 4/8 , 11/ 7 , 5,0, √4 etc.

Note 

 (i) प्रत्येक प्राकृत संख्या परिमेय संख्या है।

 (ii) प्रत्येक पूर्ण संख्या परिमेय संख्या है।

(iii) प्रत्येक पूर्णांक परिमेय संख्या है।

 Note

 (i) Every natural number is a rational number.

 (ii) Every whole number is a rational number.

 (iii) Every integer is a rational number.