Number

Math's Notes

By Ankit sir 

Date: 28/09/2022

Subject - Mathmatics

 What is number?

संख्या क्या है?

A number is an idea that tell how many object are there in a group a collection is known as number.

 संख्या एक विचार है जो यह बताता है कि एक समूह में कितनी वस्तुएँ हैं एक संग्रह को संख्या के रूप में जाना जाता है।

 

                        ##Types of number. 

                        ## संख्या के प्रकार।

      According to the properties and how they are represented in a number line the number are classified into different types that different types of number are as follows.

 गुणों के अनुसार और उन्हें एक संख्या रेखा में कैसे दर्शाया जाता है, संख्याओं को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है कि विभिन्न प्रकार की संख्याएँ इस प्रकार हैं

1.Natural number प्राकृतिक संख्या

national number are also call counting number which contain the setup portative integers from one to infinity the set of natural number is represented by the letter N .The natural numbers set is defined by

N = {1,2,3,4,5,…………….}

Ex. 35,59,110 etc 

प्राकृतिक संख्या

 प्राकृत संख्या को गिनती संख्या भी कहा जाता है जिसमें एक से अनंत तक धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है। प्राकृत संख्या के समुच्चय को N अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

 N = {1,2,3,4,5,…………….}

  Ex 35,59,110 आदि

Properties of Natural Numbers:

 1. Addition of natural numbers are closed, associative, and commutative. 

2.Natural Number multiplication is closed, associative, and commutative. 

3.The identity element of a natural number under addition is zero.

 4. The identity element of a natural number under Multiplication is one.

प्राकृतिक संख्याओं के गुण:

 1. प्राकृत संख्याओं का योग बंद, साहचर्य और क्रमविनिमेय होता है।

 2. प्राकृतिक संख्या गुणन बंद, साहचर्य और क्रमविनिमेय है।

 3. योग के अंतर्गत एक प्राकृत संख्या का पहचान तत्व शून्य होता है।

 4. गुणन के अंतर्गत एक प्राकृत संख्या का सर्वसमिका तत्व एक होता है।

2.Whole Numbers पूर्ण संख्याएं

: Whole numbers are also known as natural numbers with zero The set consists of non-negative integers, where it does not contain any decimal or fractional part, The whole number set is represented by the letter "W", The natural number set is defined by: 

 W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...........} Examples: 67, 0, 49, 52, etc.

 Properties of Whole Numbers :

 1.Whole numbers are closed under addition and multiplication.

2. Zero is the additive identity element of the whole numbers.

3.1 is the multiplicative identity element.

4. It obeys the commutative and associative property of addition and multiplication.

5. It satisfies the distributive property of multiplication aver addition and vice versa.

पूर्ण संख्याएं

 पूर्ण संख्याओं को शून्य के साथ प्राकृत संख्या के रूप में भी जाना जाता है सेट में गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं, जहां इसमें कोई दशमलव या आंशिक भाग नहीं होता है, पूर्ण संख्या सेट को "W" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, प्राकृतिक संख्या सेट परिभाषित किया जाता है द्वारा:

W= {0, 1, 2, 3, 4, 5, .........}

 उदाहरण: 67, 0, 49, 52, आदि।

 पूर्ण संख्याओं के गुण :

 1. पूर्ण संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत बंद होती हैं।

 2. शून्य पूर्ण संख्याओं का योगात्मक पहचान तत्व है।

 3. 1 गुणक पहचान तत्व है।

 4. यह जोड़ और गुणा की क्रमविनिमेय और साहचर्य संपत्ति का पालन करता है।

 5. यह गुणन औसत योग और इसके विपरीत के वितरण गुण को संतुष्ट करता है।

3.  Integers: पूर्णांक:

Integers are defined as the set of all whole numbers with a negative set of natural numbers The integer set is represented by the symbol "Z". The set of integers are defined as: 

Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

 Examples: -52, 0, -1, 16, 82, etc.

Properties of Integers :

1.Integers are closed under addition, subtraction and multiplication.

2.The commutative property is satisfied for addition and multiplication of integers.

3.It obeys the associative property of addition and multiplication.

4. It obeys the distributive property for addition and multiplication.

5. Additive identity of integers is 0.

6.Multiplicative identity of integers is 1

पूर्णांक:

 पूर्णांकों को प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक समुच्चय के साथ सभी पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है पूर्णांक समुच्चय को "Z" प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। पूर्णांकों के समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

 Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

 उदाहरण: -52, 0, -1, 16, 82, आदि।

 पूर्णांकों के गुण :

 1. पूर्णांक जोड़, घटाव और गुणा के अंतर्गत बंद होते हैं।

 2. पूर्णांकों के योग और गुणन के लिए क्रमविनिमेय गुण संतुष्ट होता है।

 3. यह जोड़ और गुणा की साहचर्य संपत्ति का पालन करता है।

 4. यह जोड़ और गुणा के लिए वितरण संपत्ति का पालन करता है।

 5. पूर्णांकों की योगात्मक पहचान 0 होती है।

 6. पूर्णांकों की गुणनात्मक पहचान 1 है

4.Real Numbers: वास्तविक संख्या

Any number such as positive integers, negative integers, fractional numbers or decimal numbers without imaginary numbers are called the real numbers. It is represented by the letter "R".

Examples: 0.333, √2, 0, -10, 20, etc.

Properties of Real Numbers:

1.Real Numbers are commutative, associate, and distributive under addition and multiplication.

2.Real numbers obey inverse property.

3.Additive and multiplicative identity elements of real numbers are 0 and 1 respectively.

वास्तविक संख्या:

 कोई भी संख्या जैसे धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक, भिन्नात्मक संख्याएँ या बिना काल्पनिक संख्याओं वाली दशमलव संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं। इसे "R" अक्षर से दर्शाया जाता है।

 उदाहरण: 0.333, 2, 0, -10, 20, आदि।

 वास्तविक संख्याओं के गुण:

 1. वास्तविक संख्याएँ जोड़ और गुणन के तहत कम्यूटेटिव, एसोसिएट और डिस्ट्रीब्यूटिव हैं।

 2. वास्तविक संख्याएं व्युत्क्रम गुण का पालन करती हैं।

 3. वास्तविक संख्याओं के योगात्मक और गुणक सर्वसमिका तत्व क्रमशः 0 और 1 होते हैं।

5. Rational Numbers:परिमेय संख्याएँ

 Any number that can be written in the form of p/q, i.e., a ratio of one number over another number is known as rational numbers, A rational number can be represented by the letter "Q"

.Examples: 7/1, 10/2, 1/1, 0/1, etc.

Properties of Rational Numbers :

1.Rational numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division.

2. It satisfies commutative and associative property under addition and multiplication.

3.It obeys distributive property for addition and subtraction.

5. परिमेय संख्याएँ:

 कोई भी संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात, एक संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं, एक परिमेय संख्या को "Q" अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है।

 उदाहरण: 7/1, 10/2, 1/1, 0/1, आदि।

 परिमेय संख्याओं के गुण :

 1. परिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अंतर्गत बंद होती हैं।

 2. यह जोड़ और गुणा के तहत कम्यूटेटिव और एसोसिएटिव प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है।

 3. यह जोड़ और घटाव के लिए वितरण संपत्ति का पालन करता है।

6.Irrational Numbers: अपरिमेय संख्या:

The number that cannot be expressed in the form of p/q. It means a number that cannot be written as the ratio of one over another is known as irrational numbers. It is represented by the letter "P".

Examples: √2, π, Euler's constant, etc.

Properties of Irrational Numbers:

1.Irrational numbers do not satisfy the closure property.

2. It obeys commutative and associative property under addition and multiplication.

3.Irrational Numbers are distributive under addition and subtraction.

अपरिमेय संख्या:

 वह संख्या जिसे p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि एक संख्या जिसे एक दूसरे के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, उसे अपरिमेय संख्या के रूप में जाना जाता है। इसे "P" अक्षर से दर्शाया जाता है।

 उदाहरण: √2, , यूलर नियतांक, आदि।

 अपरिमेय संख्याओं के गुण:

 1. अपरिमेय संख्याएं क्लोजर प्रॉपर्टी को संतुष्ट नहीं करती हैं।

 2. यह जोड़ और गुणा के तहत क्रमविनिमेय और साहचर्य संपत्ति का पालन करता है।

 3. अपरिमेय संख्याएँ जोड़ और घटाव के अंतर्गत वितरणात्मक होती हैं।

7.Complex Numbers: जटिल आंकड़े

A number that is in the form of a+bi is called complex numbers, where "a and b" should be a real number and "i" is an imaginary number.

Examples: 4 + 41, -2 + 3i, 1+ √2 i, etc 

Properties of Complex Numbers:

The following properties hold for the complex numbers:

1.Associative property of addition and multiplication.

2. Commutative property of addition and multiplication.

3.Distributive property of multiplication over addition.

जटिल आंकड़े:

 एक संख्या जो a+bi के रूप में होती है, सम्मिश्र संख्या कहलाती है, जहाँ "a और b" एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए और "i" एक काल्पनिक संख्या है।

 उदाहरण: 4 + 41, -2 + 3i, 1+ √2 i, आदि

 जटिल संख्याओं के गुण:

 निम्नलिखित गुण जटिल संख्याओं के लिए हैं:

 1. जोड़ और गुणा की साहचर्य संपत्ति।

 2. जोड़ और गुणा की क्रमागत संपत्ति।

 3. जोड़ पर गुणन का वितरण गुण।

8.Imaginary Numbers:काल्पनिक संख्याएँ:

 The imaginary numbers are categorized under complex numbers. It is the product of real numbers with the imaginary unit "The imaginary part of the complex numbers is defined by Im (Z).

Examples: √2, i², 3i, etc.

Properties 

1 x i=i 

 i x i=-1

-1 x i=-i

-i x i = 1

So, we can write the imaginary numbers as:

 i = √i

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = +1

i⁴n = 1

i⁴n-1=-1

काल्पनिक संख्याएँ:

 काल्पनिक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं के अंतर्गत वर्गीकृत किया जाता है। यह काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्याओं का गुणनफल है "जटिल संख्याओं का काल्पनिक भाग Im (Z) द्वारा परिभाषित किया गया है।

 उदाहरण: 2, i², 3i, आदि।